Matice: gaussova metóda. Výpočet matice gaussovou metódou: príklady

Lineárna algebra, ktorá sa vyučuje na univerzitách v rôznych špecializáciách, kombinuje mnoho zložitých tém. Niektoré z nich sú spojené s maticami, ako aj s riešením systémov lineárnych rovníc metódami Gauss a Gauss-Jordan. Nie všetci študenti dokážu pochopiť tieto témy, algoritmy na riešenie rôznych problémov. Poďme spoločne zistiť matice a metódy Gaussa a Gaussa-Jordana.

Základné pojmy

Matica v lineárnej algebre označuje obdĺžnikové pole prvkov (tabuľka). Nižšie sú uvedené množiny prvkov uvedených v zátvorkách. Toto sú matice. Z vyššie uvedeného príkladu je zrejmé, že prvky v obdĺžnikových poliach nie sú len čísla. Matica môže pozostávať z matematických funkcií, algebraických symbolov.

Aby sme pochopili niektoré pojmy, vytvorme maticu A z prvkov a_ij. Indexy nie sú len písmená: i je číslo riadku v tabuľke A j je číslo stĺpca, v oblasti priesečníka ktorého je prvok a_{IJ sa nachádza}. Vidíme teda, že máme maticu prvkov, ako je a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ , atď. . Písmeno n označuje počet stĺpcov a písmeno m označuje počet riadkov. Symbol m × n označuje rozmer matice. Toto je koncept, ktorý definuje počet riadkov a stĺpcov v obdĺžnikovom poli prvkov.

Matica musí mať voliteľne viac stĺpcov a riadkov. S rozmerom 1 × n je pole prvkov jednoriadkové a s rozmerom m × 1 je jednostĺpcové. Ak je počet riadkov a počet stĺpcov rovnaký , matica sa nazýva štvorec. Každá štvorcová matica má determinant (det a). Tento výraz sa vzťahuje na číslo, ktoré je uvedené v súlade s maticou A.

Niekoľko dôležitých konceptov, ktoré je potrebné pamätať na úspešné riešenie matíc, sú hlavné a bočné uhlopriečky. Hlavná uhlopriečka matice sa vzťahuje na uhlopriečku, ktorá klesá do pravého rohu tabuľky z ľavého horného rohu. Bočná uhlopriečka ide do pravého rohu nahor z ľavého rohu zdola.

Krokový pohľad na maticu

Pozrite sa na obrázok nižšie. Na ňom uvidíte maticu a diagram. Poďme sa najprv zaoberať matrixom. V lineárnej algebre sa matica tohto druhu nazýva stupňovitá matica. Má jednu vlastnosť: ak a_ij sú prvý nenulový prvok v i-tý riadok, potom všetky ostatné prvky z matice stojace pod a naľavo od A_ij, sú nulové (. teda. všetky tie prvky, ktoré môžu byť označené písmenom a_kl, kde k>ja a l

Teraz zvážte schému. Odráža stupňovitý tvar matrice. Diagram zobrazuje 3 typy buniek. Každý typ označuje určité prvky:

• prázdne bunky sú nulové prvky matice;
• tieňované bunky sú ľubovoľné prvky, ktoré môžu byť nulové alebo nenulové;
• čierne štvorce sú nenulové prvky, ktoré sa nazývajú rohové prvky, "kroky" (v matici uvedenej vedľa týchto prvkov sú číslice -1, 5, 3, 8).

Pri riešení matíc sa niekedy takýto výsledok dosiahne, keď sa ukáže, že "dĺžka" kroku je väčšia ako 1. Toto je povolené. Dôležitá je iba "výška" krokov. V postupnej matici sa tento parameter musí vždy rovnať jednej.

Redukcia matrice na stupňovitú formu

Akákoľvek obdĺžniková matica môže byť transformovaná do postupnej formy. To sa deje vďaka elementárnym transformáciám. Zahŕňajú:

• usporiadanie riadkov na miestach;
• pridanie ďalšieho riadku do jedného riadku, v prípade potreby vynásobené číslom (môžete tiež vykonať operáciu odčítania).

Uvažujme o elementárnych transformáciách pri riešení konkrétneho problému. Nasledujúci obrázok zobrazuje maticu A, ktorú je potrebné uviesť do postupného tvaru.

Aby sme problém vyriešili, budeme postupovať podľa algoritmu:

• Je vhodné vykonať transformácie na takej matici, v ktorej je prvý prvok v hornom rohu na ľavej strane (. teda. "vedúci" prvok) sa rovná 1 alebo -1. V našom prípade je prvý prvok v hornom riadku 2, takže vymeníme prvý a druhý riadok.
• Poďme vykonať operácie odčítania dotykom riadkov #2, 3 a 4. V prvom stĺpci pod prvkom "vedúci" by sme mali dostať nuly. Aby sme dosiahli tento výsledok: z prvkov riadku č. 2 postupne odčítame prvky riadku č. 1 vynásobené 2; z prvkov riadku č. 3 postupne odčítame prvky riadku č. 1 vynásobené 4; z prvkov riadku č. 4 postupne odčítame prvky riadku č. 1.
• Ďalej budeme pracovať so skrátenou maticou (bez stĺpca č. 1 a bez riadku č. 1). Nový" vedúci " prvok stojaci na priesečníku druhého stĺpca a druhého riadku je -1. Nie je potrebné meniť usporiadanie riadkov, preto prepíšeme prvý stĺpec a prvý a druhý riadok bez zmien. Vykonajme operácie odčítania, aby sme získali nuly v druhom stĺpci pod prvkom" vedúci": od prvkov tretieho riadku postupne odčítame prvky druhého riadku vynásobené 3; od prvkov štvrtého riadku postupne odčítame prvky druhého riadku vynásobené 2.
• Zostáva zmeniť posledný riadok. Z jeho prvkov postupne odčítame prvky tretieho radu. Takto sme získali krokovú maticu.

Redukcia matíc na postupnú formu sa používa pri riešení systémov lineárnych rovníc (SLA) Gaussovou metódou. Pred zvážením tejto metódy pochopme pojmy súvisiace s.

Matice a Sústavy lineárnych rovníc

Matice sa používajú v rôznych vedách. Pomocou tabuliek čísel je možné napríklad vyriešiť lineárne rovnice spojené do systému Gaussovou metódou. Najprv sa zoznámime s niekoľkými pojmami a ich definíciami a tiež uvidíme, ako sa matica vytvára zo systému kombinujúceho niekoľko lineárnych rovníc.

SLU – niekoľko kombinovaných algebraických rovníc, v ktorých sú neznáme v prvom stupni a neexistujú žiadne výrazy predstavujúce produkt neznámych.

Riešením SLU sú nájdené hodnoty neznámych, pri nahradení ktorých sa rovnice v systéme stávajú identitami.

Spoločná SLA je systém rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie.

Nekompatibilná SL je systém rovníc, ktorý nemá žiadne riešenia.

Ako sa zostavuje matica založená na systéme kombinujúcom lineárne rovnice?? Existujú také pojmy ako základné a rozšírené matice systému. Aby sa získala hlavná matica systému, je potrebné uviesť všetky koeficienty v tabuľke pre neznáme. ten. Získa sa expandovaná matrica tým, že pripojí stĺpec voľných výrazov k hlavnej matici (obsahuje známe prvky, s ktorými je každá rovnica v systéme prirovnávaná). Celý tento proces môžete pochopiť štúdiom obrázku nižšie.

Prvá vec, ktorú vidíme na obrázku, je systém, ktorý obsahuje lineárne rovnice. Jeho prvky sú: a_ij - číselné koeficienty, x_j - neznáme množstvá, b_i - voľné termíny (kde i = 1, 2,..., m A j = 1, 2, ..., a). Druhým prvkom na obrázku je hlavná matica koeficientov. Z každej rovnice sa koeficienty zapíšu do riadku. Výsledkom je, že v matici je toľko riadkov, koľko je rovníc v systéme. Počet stĺpcov sa rovná najväčšiemu počtu koeficientov v ktorejkoľvek rovnici. Tretím prvkom na obrázku je rozšírená matica so stĺpcom voľných výrazov.

Všeobecné informácie o Gaussovej metóde

V lineárnej algebre je Gaussova metóda klasickou metódou riešenia. Nesie meno Karla Friedricha Gaussa, ktorý žil v XVIII-XIX storočí. Je jedným z najväčších matematikov všetkých čias. Podstatou Gaussovej metódy je vykonávanie elementárnych transformácií na systéme lineárnych algebraických rovníc. Pomocou transformácií sa SL redukuje na ekvivalentný systém trojuholníkovej (postupnej) formy, z ktorej možno nájsť všetky premenné.

Stojí za zmienku, že Karl Friedrich Gauss nie je objaviteľom klasického spôsob riešenia sústava lineárnych rovníc. Metóda bola vynájdená oveľa skôr. Prvý Description z toho sa nachádza v encyklopédii vedomostí starovekých čínskych matematikov, nazvanej "Matematika v 9 knihách".

Príklad riešenia SLA Gaussovou metódou

Zoberme si konkrétny príklad riešenia systémov Gaussovou metódou. Budeme pracovať s SLU zobrazenou na obrázku.

Algoritmus riešenia:

1. V priamom priebehu Gaussovej metódy privedieme systém do postupnej formy, ale najskôr vytvoríme rozšírenú maticu číselných koeficientov a voľných výrazov.
2. Na vyriešenie matice Gaussovou metódou (. teda. aby sme to dostali do postupnej formy), postupne odčítame prvky prvého riadku od prvkov druhého a tretieho riadku. V prvom stĺpci pod prvkom "vedúci" dostaneme nuly. Ďalej vymeníme druhý a tretí riadok pre pohodlie. K prvkom posledného riadku postupne pridávame prvky druhého riadku vynásobené 3.
3. V dôsledku výpočtu matice Gaussovou metódou sme získali stupňovité pole prvkov. Na základe toho vytvoríme nový systém lineárnych rovníc. Pomocou opačného priebehu Gaussovej metódy nájdeme hodnoty neznámych výrazov. Z poslednej lineárnej rovnice je zrejmé, že_x3 sa rovná 1. Túto hodnotu nahradíme v druhom riadku systému. Dostaneme rovnicu x₂ – 4 = -4. Z toho vyplýva, že_x2 je 0. Nahradíme x₂ a x₃ do prvej rovnice systému: x₁ + 0 +3 = 2. Neznámy výraz je -1.

Odpoveď: pomocou matice, Gaussovej metódy, sme našli hodnoty neznámych; x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = 1.

Gauss-Jordánska metóda

V lineárnej algebre existuje aj taká vec ako Gauss-Jordánska metóda. Považuje sa za modifikáciu Gaussovej metódy a používa sa pri hľadaní inverznej matice pri výpočte neznámych výrazov štvorcových systémov algebraických lineárnych rovníc. Metóda Gauss-Jordan je výhodná, pretože vám umožňuje vyriešiť problém v jednom kroku (bez použitia pohybov vpred a vzad).

Začnime s pojmom "inverzná matica". Povedzme, že máme maticu A. Matica A 1 bude pre ňu inverzná^-, , a podmienka je nevyhnutne splnená: A × a^-1 = Na^-1 × A = E, t. e. produkt týchto matíc sa rovná jednotkovej matici (v jednotkovej matici sú prvky hlavnej uhlopriečky jednotky a zvyšné prvky sú nulové).

Dôležitá nuansa: v lineárnej algebre existuje veta o existencii inverznej matice. Dostatočná a nevyhnutná podmienka existencie matice A^-1 je nedegenerácia matice a. Pre nedegeneráciu det a (determinant) nie je nula.

Hlavné kroky, na ktorých je založená metóda Gauss–Jordan:

1. Pozrite sa na prvý riadok konkrétnej matice. Gauss-Jordanovu metódu je možné použiť, ak prvá hodnota nie je nula. Ak je na prvom mieste 0, potom riadky vymeňte tak, aby prvý prvok mal inú hodnotu ako nulu (najlepšie je číslo bližšie k jednej).
2. Vydeľte všetky prvky prvého riadku prvým číslom. Dostanete reťazec, ktorý začína jedným.
3. Od druhého riadku odčítajte prvý riadok vynásobený prvým prvkom druhého riadku,. teda. nakoniec dostanete riadok, ktorý začína od nuly. To isté urobte so zvyškom riadkov. Ak chcete získať jednotky diagonálne, vydeľte každý riadok jeho prvým nenulovým prvkom.
4. V dôsledku toho získate hornú trojuholníkovú maticu metódou Gauss-Jordan. V ňom je hlavná uhlopriečka reprezentovaná jednotkami. Dolný roh je vyplnený nulami a horný roh je vyplnený rôznymi hodnotami.
5. Od predposledného riadku odčítajte posledný riadok vynásobený požadovaným koeficientom. Mali by ste dostať reťazec s nulami a jedným. Opakujte rovnakú akciu pre zostávajúce riadky. Po všetkých transformáciách sa získa jedna matica.

Príklad nájdenia inverznej matice metódou Gauss-Jordan

Ak chcete vypočítať inverznú maticu, musíte napísať rozšírenú maticu A / E a vykonať potrebné transformácie. Zvážte jednoduchý príklad. Nasledujúci obrázok ukazuje maticu A.

Rozhodnutie:

1. Na začiatok nájdeme determinant matice Gaussovou metódou (det a). Ak sa tento parameter neukáže ako nula, matica sa bude považovať za nedegenerovanú. To nám umožní dospieť k záveru, že a presne má A^-1. Na výpočet determinantu transformujeme maticu do postupnej formy elementárnymi transformáciami. Spočítajme číslo K rovnajúce sa počtu permutácií reťazcov. Vymenili sme riadky iba 1 krát. Vypočítajte determinant. Jeho hodnota sa bude rovnať súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky vynásobenej (-1)^K. Výsledok výpočtu: det a = 2.
2. Vytvorme rozšírenú maticu pridaním jednotkovej matice k pôvodnej matici. Výsledné pole prvkov sa použije na nájdenie inverznej matice Gauss-Jordanovou metódou.
3. Prvý prvok v prvom riadku sa rovná jednému. Sme spokojní. . s týmto, pretože nie je potrebné preusporiadať riadky a rozdeliť tento riadok nejakým číslom. Začneme pracovať s druhým a tretím riadkom. Aby sa prvý prvok v druhom riadku zmenil na 0, odpočítame prvý riadok vynásobený 3 od druhého riadku. Z tretieho riadku odčítame prvý (násobenie sa nevyžaduje).
4. Vo výslednej matici je druhý prvok druhého radu -4 a druhý prvok tretieho radu -1. Vymeňte riadky pre pohodlie. Od tretieho riadku odpočítame druhý riadok vynásobený 4. Druhý riadok delíme o -1 a tretí o 2. Dostaneme hornú trojuholníkovú maticu.
5. Od druhého riadku odpočítame posledný riadok vynásobený 4, od prvého riadku-posledný riadok vynásobený 5. Ďalej od prvého riadku odpočítame druhý riadok vynásobený 2. Na ľavej strane sme dostali jednotkovú maticu. Vpravo je inverzná matica.

Príklad riešenia SLU metódou Gauss-Jordan

Obrázok ukazuje systém lineárnych rovníc. Je potrebné nájsť hodnoty neznámych premenných pomocou matice, Gauss-Jordanovej metódy.

Riešenie:

1. Urobme rozšírenú maticu. Za týmto účelom uvedieme do tabuľky koeficienty a voľné výrazy.
2. Poďme vyriešiť maticu Gauss-Jordanovou metódou. Od riadku č. 2 odčítame riadok č. 1. Z riadku č. 3 odčítame riadok č. 1, predtým vynásobený 2.
3. Výmenné linky # 2 a 3.
4. Z riadku č. 3 odčítame riadok č. 2 vynásobený 2. Výsledný tretí riadok vydeľte -1.
5. Od riadku č. 2 odčítame riadok č. 3.
6. Od riadku č. 1 odčítame riadok č. 2 vynásobený -1. Na boku máme stĺpec pozostávajúci z číslic 0, 1 A -1. Z toho usudzujeme, že x₁ = 0, x₂ = 1 alebo x₃ = -1.

V prípade potreby môžete skontrolovať správnosť riešenia nahradením vypočítaných hodnôt do rovníc:

• 0 - 1 = -1, prvá identita zo systému je správna;
• 0 + 1 + (-1) = 0, druhá identita zo systému je správna;
• 0 – 1 + (-1) = -2, tretia identita zo systému je pravdivá.

Záver: pomocou Gauss-jordánskej metódy sme našli správne riešenie kvadratického systému kombinujúceho Lineárne algebraické rovnice.

Online Kalkulačky

Život modernej mládeže študujúcej na univerzitách a študujúcej lineárnu algebru sa stal oveľa jednoduchším. Pred niekoľkými rokmi bolo potrebné nájsť riešenia systémov pomocou metódy Gauss a Gauss – Jordan nezávisle. Niektorí študenti úspešne zvládli úlohy, zatiaľ čo iní sa v riešení zmätili, urobili chyby, požiadali spolužiakov o pomoc. Dnes môžete pri domácich úlohách používať online kalkulačky. Na riešenie systémov lineárnych rovníc, na hľadanie inverzných matíc boli napísané programy, ktoré demonštrujú nielen správne odpovede, ale ukazujú aj postup riešenia konkrétneho problému.

Na internete je veľa zdrojov so vstavanými online kalkulačkami. Matice Gaussovou metódou sú systémy rovníc vyriešené týmito programami v priebehu niekoľkých sekúnd. Študentom stačí zadať potrebné parametre (napríklad počet rovníc, počet premenných).