Výpočet uhla medzi priamkou a rovinou. Koordinačná metóda riešenia problémov

Jednou z najbežnejších úloh v stereometrii je priesečník priamych čiar a rovín a výpočet uhlov medzi nimi. V tomto článku sa budeme podrobnejšie zaoberať takzvanou súradnicovou metódou a uhlami medzi priamkou a rovinou.

Rovné a rovinné v geometrii

Pred zvážením súradnicovej metódy a uhla medzi priamkou a rovinou by ste sa mali zoznámiť s pomenovanými geometrickými objektmi.

Priamka je taká zbierka bodov v priestore alebo v rovine, z ktorých každý je možné získať lineárnym prenosom predchádzajúceho na určitý vektor. Ďalej označíme tento vektor symbolom u. Ak sa tento vektor vynásobí ľubovoľným číslom, ktoré nie je nula, dostaneme paralelný vektor u. Priamka je lineárny nekonečný objekt.

Rovina je tiež súborom bodov, ktoré sú usporiadané tak, že ak sa z nich skladajú ľubovoľné vektory, potom budú všetky kolmé na nejaký vektor n. Ten sa nazýva normálne alebo len normálne. Rovina, na rozdiel od priamky, je dvojrozmerný nekonečný objekt.

Súradnicová metóda riešenia geometrických problémov

Na základe názvu samotnej metódy možno dospieť k záveru, že hovoríme o spôsob riešenia problémy, ktoré sú založené na vykonávaní analytických sekvenčných výpočtov. Inými slovami, súradnicová metóda umožňuje riešenie geometrických problémov pomocou univerzálnych nástrojov algebry, z ktorých hlavnými sú rovnice.

Je potrebné poznamenať, že predmetná metóda sa objavila na úsvite modernej geometrie a algebry. René Descartes, Pierre Fermat, Isaac Newton a Leibniz významne prispeli k jeho rozvoju v XVII-XVIII storočia.

Podstatou metódy je výpočet vzdialeností, uhlov, plôch a objemov geometrických prvkov na základe súradníc známych bodov. Upozorňujeme, že forma výsledných konečných rovníc závisí od súradnicového systému. Pri úlohách sa najčastejšie používa obdĺžnikový Karteziánsky systém, pretože je s ním najpohodlnejšie pracovať.

Rovnica priamky

Zváženie súradnicovej metódy a uhlov medzi priamkou a rovinou sa začne nastavením rovnice priamky. Tam existuje niekoľko spôsobov reprezentovať čiary v algebraickej forme. Tu budeme brať do úvahy iba vektorovú rovnicu, pretože z nej možno ľahko získať akúkoľvek inú formu a je ľahké s ňou pracovať.

Predpokladajme, že existujú dva body: P A Q. Je známe, že cez ne môže byť nakreslená priamka a bude jediná. Zodpovedajúce Matematické znázornenie prvku vyzerá takto:

(x, y, z) = P + λ * PQ.

Kde PQ je vektor, ktorého súradnice sa získavajú takto:

PQ = Q-P.

Symbol λ označuje parameter, ktorý môže mať absolútne ľubovoľné číslo.

V písomnom vyjadrení môžete zmeniť smer vektora a tiež nahradiť súradnice Q namiesto bodu P. Všetky tieto transformácie nepovedú k zmene geometrického umiestnenia čiary.

Upozorňujeme, že pri riešení problémov je niekedy potrebné reprezentovať napísanú vektorovú rovnicu v explicitnej (parametrickej) forme.

Nastavenie lietadla vo vesmíre

Rovnako ako pre priamku, existuje aj niekoľko foriem matematických rovníc pre rovinu. Medzi nimi si všimneme vektorovú rovnicu, rovnicu v segmentoch a všeobecnú formu. V tomto článku budeme venovať osobitnú pozornosť druhej forme.

Všeobecnú rovnicu pre ľubovoľnú rovinu možno napísať takto:

A*x + B * y + C*z + D = 0.

Latinské veľké písmená sú určité čísla, ktoré definujú rovinu.

Pohodlie tejto formy písania spočíva v tom, že výslovne obsahuje vektor normálny pre rovinu. Rovná sa:

n = (A, B, C) .

Znalosť tohto vektora umožňuje po krátkom pohľade na rovnicu roviny reprezentovať jeho umiestnenie v súradnicovom systéme.

Relatívna poloha v priestore priamky a roviny

V nasledujúcom odseku článku pristúpime k úvahe o súradnicovej metóde a uhle medzi priamkou a rovinou. Tu odpovieme na otázku, ako môžu byť príslušné geometrické prvky umiestnené v priestore. Existujú tri takéto spôsoby:

1. Priamka pretína rovinu. Pomocou súradnicovej metódy je možné vypočítať, v ktorom jedinom bode sa pretína priamka a rovina.
2. Rovina priamky je rovnobežná. V tomto prípade systém rovníc geometrických prvkov nemá riešenie. Na preukázanie rovnobežnosti sa zvyčajne používa vlastnosť skalárneho súčinu vodiaceho vektora priamky a normálu roviny.
3. Lietadlo obsahuje priamku. Pri riešení systému rovníc v tomto prípade dospejeme k záveru, že pre každú hodnotu parametra λ sa získa správna rovnosť.

V druhom a treťom prípade je uhol medzi špecifikovanými geometrickými objektmi nulový. V prvom prípade leží v rozmedzí od 0 do 90^o.

Výpočet uhlov medzi priamkami a rovinami

Teraz prejdime priamo k téme článku. Akýkoľvek priesečník priamky a roviny sa vyskytuje v určitom uhle. Tento uhol je tvorený najrovnejšou čiarou a jej premietaním do roviny. Projekciu je možné získať, ak je kolmica spustená z ktoréhokoľvek bodu priamky na rovinu a potom je vedená priamka cez výsledný priesečník roviny a kolmica a priesečník roviny a pôvodná priamka, ktorá bude projekciou.

Výpočet uhlov medzi priamkami a rovinami nie je náročná úloha. Na jeho vyriešenie stačí poznať rovnice zodpovedajúcich geometrických objektov. Povedzme, že tieto rovnice vyzerajú takto:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c);

A*x + B * y + C*z + D = 0.

Požadovaný uhol sa dá ľahko nájsť, ak použijete vlastnosť súčinu skalárnych vektorov u a n. Konečný vzorec vyzerá takto:

र = arcsin (/(u * n)||(|u|* / n/)).

Tento vzorec hovorí, že sínus uhla medzi priamkou a rovinou sa rovná pomeru modulu skalárneho súčinu označených vektorov k súčinu ich dĺžok. Aby sme pochopili, prečo sa namiesto kosínu objavil sínus, obráťme sa na obrázok nižšie.

Je vidieť, že ak použijeme kosínusovú funkciu, dostaneme uhol medzi vektormi u a n. Požadovaný uhol θ (α na obrázku) sa ukáže takto:

θ = 90^o - β.

Sínus sa objaví ako výsledok použitia redukčných vzorcov.

Príklad úlohy

Prejdime k praktickému využitiu získaných vedomostí. Poďme vyriešiť typický problém na uhol medzi priamka a lietadlo. Sú uvedené nasledujúce súradnice štyroch bodov:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Je známe, že rovina prechádza bodmi PQM a priamka prechádza cez MN. Pomocou súradnicovej metódy sa musí vypočítať uhol medzi rovinou a priamkou.

Na začiatok si zapíšeme rovnice priamky a roviny. Nie je ťažké urobiť to pre priamku:

MN = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ * (-2, -4, 2).

Aby sme vytvorili rovnicu roviny, najskôr k nej nájdeme normál. Jeho súradnice sa rovnajú vektorovému súčinu dvoch vektorov ležiacich v tejto rovine. Napísali o nás:

PQ = (-2, 3, 2);

QM = (1, 1, -3) =>

n = [PQ * QM] = (-11, -4, -5).

Teraz nahradíme súradnice ktoréhokoľvek bodu ležiaceho v ňom do rovnice všeobecnej roviny, aby sme získali hodnotu voľného výrazu D:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B * Y + C * z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Rovnica roviny má tvar:

11 * x + 4 * y + 5 * z - 7 = 0.

Zostáva použiť vzorec pre uhol vytvorený na priesečníku priamky a roviny, aby sa získala odpoveď na problém. Napísali o nás:

(u * n) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

| u / = √24 | / n / = √162;

θ Arc Arc Arc Arc Arc Arc Arc Arc Arc Arc(28/√(162*24)) = 26,68^o.

Na príklade tohto problému sme ukázali, ako použiť súradnicovú metódu na riešenie geometrických problémov.