Ako nájsť produkt matíc. Násobenie matice. Skalárny produkt matíc. Produkt troch matíc

S maticami (tabuľky s číselnými prvkami)je možné vykonávať rôzne výpočtové akcie. Jedným z nich je násobenie číslom, vektorom, ďalšou maticou, niekoľkými maticami. Práca sa niekedy ukáže ako nesprávna. Chybný výsledok je výsledkom neznalosti pravidiel vykonávania výpočtových činností. Poďme zistiť, ako vykonať násobenie.

Matica a číslo

Začnime tým najjednoduchším-vynásobením tabuľky číslami konkrétnou hodnotou. Napríklad máme maticu A s prvkami a_ij (i sú čísla riadkov a j sú čísla stĺpcov) a číslo e. Súčinom matice číslom e bude matica B s prvkami b_ij, ktoré sa nachádzajú podľa vzorca:

b_ij = e × a_ij.

T. e. ak chcete získať prvok b₁₁ musíte si vziať prvok a₁₁ a vynásobte ho požadovaným číslom, aby ste získali b₁₂ je potrebné nájsť produkt prvku a₁₂ a číslo e atď. .

Vyriešme problém č. 1, zobrazený na obrázku. Ak chcete získať maticu B, jednoducho vynásobte prvky z A číslom 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Táto hodnota sa zapíše do matice B na mieste, kde sa pretínajú stĺpce č. 1 a riadok č. 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Máme prvok b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = –6. Máme prvok b₁₂. Zapíšeme to do matice B na mieste, kde stĺpec # 2 a riadok # 1.
4. a_{22 intersect} × 3 = 9. Tento výsledok je prvok b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Toto číslo sa zadáva do matice namiesto prvku b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = –3. Posledné prijaté číslo je prvok b₂₃.

Dostali sme teda obdĺžnikové pole s číselnými prvkami.

Vektory a podmienka existencie produktu matíc

V matematických disciplínach existuje niečo ako "vektor". . Tento výraz sa vzťahuje na usporiadaný súbor množstiev z a₁ do a_n. Nazývajú sa Súradnice vektorového priestoru a zapisujú sa ako stĺpec. Existuje aj výraz "transponovaný vektor". , jeho komponenty sú usporiadané ako reťazec.

Vektory možno nazvať matice:

• vektor stĺpca je matica vytvorená z jedného stĺpca;
• vektor riadkov je matica, ktorá obsahuje iba jeden riadok.

Pri vykonávaní operácií násobenia na maticiach je dôležité mať na pamäti, že existuje podmienka existencie produktu. Výpočtovú akciu a × B je možné vykonať, iba ak sa počet stĺpcov v tabuľke a rovná počtu riadkov v tabuľke B. Konečná matica získaná ako výsledok výpočtu má vždy Počet riadkov tabuľky A a počet stĺpcov tabuľky B.

Pri násobení sa neodporúča usporiadať matice (multiplikátory). Ich produkt zvyčajne nezodpovedá komutatívnemu (translačnému) zákonu násobenia,. teda. výsledok operácie A × B sa nerovná výsledku operácie B × A. Táto funkcia sa nazýva nekomutativita produktu matíc. V niektorých prípadoch sa výsledok násobenia a × B rovná výsledku násobenia B × A,. teda. produkt je komutatívny. Matica, pre ktoré rovnosť a × B = B × a platí sa nazývajú permutácie. Príklady takýchto tabuliek nájdete nižšie.

Násobenie vektorom stĺpca

Pri vynásobení matice vektorom stĺpca musíme brať do úvahy podmienku existencie produktu. Počet stĺpcov (n) v tabuľke sa musí zhodovať s počtom súradníc, z ktorých sa skladá vektor. Výsledkom výpočtu je transformovaný vektor. Jeho počet súradníc sa rovná počtu riadkov (m) z tabuľky.

Ako sa počítajú súradnice vektora y, ak existuje matica a a vektor x? Pre výpočty boli vytvorené vzorce:

y₁ = na₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + na_1nx_n,

y₂ = na₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + na_2nx_n,

......................................,

y_m = na_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + na_mnx_n,

kde x₁, ..., x_n - súradnice Z X-vektora, m je počet riadkov v matici a počet súradníc v novom y-vektore, n je počet stĺpcov v matici a počet súradníc v X-vektore, a₁₁, a₁₂, ..., na_mn - prvky matice A.

Na získanie i-tej zložky nového vektora sa teda uskutoční skalárny produkt. Vektor i-tého riadku je prevzatý z matice A a vynásobí sa existujúcim vektorom x.

Poďme vyriešiť problém č. 2. Produkt matice vektorom možno nájsť, Pretože A má 3 stĺpce a x pozostáva z 3 súradníc. Vo výsledku by sme mali dostať vektor stĺpca so 4 súradnicami. Použime vyššie uvedené vzorce:

1. Vypočítať y₁. 1 × 4 + (-1) × 2 + 0 × (-4). Konečná hodnota je 2.
2. Vypočítať y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (-4). Pri výpočte dostaneme 0.
3. Vypočítať y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Súčet produktov týchto multiplikátorov je 6.
4. Vypočítať y₄. (-1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (-4). Súradnica je -8.

Vynásobenie vektorového reťazca maticou

Nie je možné vynásobiť maticu pozostávajúcu z niekoľkých stĺpcov riadkovým vektorom. V takýchto prípadoch nie je splnená podmienka existencie diela. Ale násobenie vektorového reťazca maticou je možné. Táto výpočtová operácia sa vykonáva, keď sa počet súradníc vo vektore a počet riadkov v tabuľke zhodujú. Výsledkom produktu vektora maticou je nový vektorový reťazec. Jeho počet súradníc by sa mal rovnať počtu stĺpcov v matici.

Výpočet prvej súradnice nového vektora znamená vynásobenie vektorového riadku a prvého vektorového stĺpca z tabuľky. Druhá súradnica sa počíta podobným spôsobom, ale namiesto vektora prvého stĺpca sa vezme vektor druhého stĺpca. Tu je všeobecný vzorec na výpočet súradníc:

y_k = na_1kx₁ + a_2kx₂ + ... + na_mkx_m,

kde y_k - súradnica z vektora y, (k je v rozsahu od 1 do n), m je počet riadkov v matici a počet súradníc vo vektore x, n je počet stĺpcov v matici a počet súradníc vo vektore y, a s alfanumerickými indexmi-prvkami matice A.

Výrobok z pravouhlých matíc

Táto výpočtová akcia sa môže zdať komplikovaná. Násobenie sa však dá ľahko vykonať. Začnime s definíciou. Súčin matice a s riadkami m a stĺpcami n a matice B S N riadkami a stĺpcami p je matica C s riadkami m a stĺpcami p, v ktorých prvok c_ij je súčet súčinov prvkov i - tého riadku z tabuľky a A J-tého stĺpca z tabuľky B. Zjednodušene povedané, prvok c_ij je skalárny súčin vektora i-tého riadku z tabuľky A a vektora J-tého stĺpca z tabuľky B.

Teraz poďme v praxi zistiť, ako nájsť produkt obdĺžnikových matíc. Poďme na to vyriešiť problém č. 3. Podmienka existencie diela je splnená. Začnime výpočet prvkov c_ij:

1. Matica C bude pozostávať z 2 riadkov a 3 stĺpcov.
2. Vypočítajte prvok c₁₁. Za týmto účelom vykonávame skalárny súčin riadku č. 1 z matice A a stĺpca č. 1 z matice B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Potom postupujeme rovnakým spôsobom, meníme iba riadky ,stĺpce (v závislosti od indexu prvku).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Prvky sa vypočítajú. Teraz zostáva len vytvoriť obdĺžnikový blok získaných čísel.

Násobenie troch matíc: teoretická časť

Je možné nájsť produkt troch matíc? Táto výpočtová operácia je uskutočniteľná. Výsledok je možné získať niekoľkými spôsobmi. Napríklad existujú 3 štvorcové tabuľky – rovnakého poradia) - A, B A C. Na výpočet produktu môžete:

1. Najprv vynásobte A A B. , potom výsledok vynásobte C.
2. Najprv nájdite produkt B A C. Ďalej vynásobte maticu A získaným výsledkom.

Ak potrebujete vynásobiť obdĺžnikové matice, musíte sa najskôr uistiť, že je táto výpočtová operácia možná. Musia existovať produkty a × B A B × C.

Postupné násobenie nie je chyba. Existuje taká vec ako "asociativita násobenia matice". Tento výraz znamená rovnosť (a × B) × C = A × (B × C).

Násobenie troch matíc: prax

Štvorcové matice

Začnime vynásobením malých štvorcových matíc. Na nasledujúcom obrázku je znázornená úloha číslo 4, ktorú musíme vyriešiť.

Budeme používať vlastnosť asociativity. Najprv vynásobte buď A A B, alebo B A C. Pamätáme si len jednu vec: nemôžete zmeniť usporiadanie multiplikátorov,. teda. nemôžete vynásobiť B × a alebo C × B. S týmto násobením dostaneme chybný výsledok.

Priebeh rozhodnutia.

Prvý Krok. Ak chcete nájsť celkový produkt, najskôr vynásobte A A B. Pri vynásobení dvoch matíc sa budeme riadiť pravidlami, ktoré boli načrtnuté vyššie. Výsledkom vynásobenia A A B bude matica D s 2 riadkami a 2 stĺpcami,. teda. obdĺžnikové pole bude obsahovať 4 prvky. Nájdeme ich vykonaním výpočtu:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Priebežný výsledok je pripravený.

Krok Dva. Teraz vynásobte maticu D maticou C. Výsledkom by mala byť štvorcová matica G S 2 riadkami a 2 stĺpcami. Vypočítajte prvky:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Výsledkom súčinu štvorcových matíc je teda tabuľka G s vypočítanými prvkami.

Obdĺžnikové matice

Obrázok nižšie zobrazuje úlohu č. 5. Je potrebné vynásobiť obdĺžnikové matice a nájsť riešenie.

Skontrolujme, či je splnená podmienka existencie produktov a × B A B × C. Poradie týchto matíc nám umožňuje vykonávať násobenie. Začnime riešiť problém.

Priebeh rozhodnutia.

Prvý Krok. Vynásobte B po C, aby ste získali D. Matica B obsahuje 3 riadky a 4 stĺpce a matica C obsahuje 4 riadky a 2 stĺpce. To znamená, že dostaneme maticu D S 3 riadkami a 2 stĺpcami. Vypočítajte prvky. Tu sú 2 príklady výpočtov:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Pokračujeme v riešení problému. V dôsledku ďalších výpočtov nájdeme hodnoty d₂₁, d₂₂, d₃₁ A d₃₂. Tieto prvky sú 0, 19, 1 a 11. Zapíšme nájdené hodnoty do obdĺžnikového poľa.

Krok Dva. Vynásobte a po D, aby ste získali konečnú maticu F. Bude mať 2 riadky a 2 stĺpce. Vypočítajte prvky:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Vytvorme obdĺžnikové pole, ktoré je konečným výsledkom vynásobenia troch matíc.

Úvod do priamej práce

Kroneckerov produkt matíc je pomerne ťažko pochopiteľný materiál. Má tiež ďalšie meno-priamu prácu. Čo sa myslí týmto pojmom? Povedzme, že máme tabuľku a poriadku m × n a tabuľku B poriadku p × q. Priamy produkt matice a maticou B je matica rádu mp × nq.

Máme 2 štvorcové matice A, B, ktoré sú zobrazené na obrázku. Prvý pozostáva z 2 stĺpcov a 2 riadkov a druhý pozostáva z 3 stĺpcov a 3 riadkov. Vidíme, že matica vyplývajúca z priameho produktu pozostáva zo 6 riadkov a presne rovnakého počtu stĺpcov.

Rovnako ako v prípade priameho produktu sa vypočítajú prvky novej matice? Ak analyzujete výkres, je veľmi ľahké nájsť odpoveď na túto otázku. Najprv vyplňte prvý riadok. Vezmite prvý prvok z horného riadku tabuľky A a vynásobte ho postupne prvkami prvého riadku z tabuľky B. Ďalej vezmite druhý prvok prvého riadku tabuľky A a postupne vynásobte prvkami prvého riadku tabuľky B. Ak chcete vyplniť druhý riadok, znova vyberte prvý prvok z prvého riadku tabuľky A a vynásobte ho prvkami druhého riadku tabuľky B.

Výsledná matrica získaná priamym produktom sa nazýva bloková matica. Ak znova analyzujeme výkres, vidíme, že náš výsledok pozostáva zo 4 blokov. Všetky z nich obsahujú prvky matice B. Okrem toho sa prvok každého bloku vynásobí špecifickým prvkom matice A. V prvom bloku sa všetky prvky vynásobia a₁₁, v druhej – na a₁₂, v treťom – na a₂₁, vo štvrtom – na a₂₂.

Determinant produktu

Pri zvažovaní témy násobenia matíc je tiež potrebné zvážiť taký pojem ako "determinant produktu matíc". Čo je determinant? Toto je dôležité charakteristika štvorcovej matice, určitá hodnota, ktorá je uvedená v súlade s touto maticou. Písmenové označenie determinantu je det.

Pre maticu a pozostávajúcu z dvoch stĺpcov a dvoch riadkov je determinant ľahko nájsť. Existuje malý vzorec predstavujúci rozdiel produktov špecifických prvkov:

det a = a₁₁ × na₂₂ – na₁₂ × na₂₁.

Pozrime sa na príklad výpočtu determinantu pre tabuľku druhého rádu. Existuje matica A, v ktorej a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 a₂₂ = 1. Na výpočet determinantu používame vzorec:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = -13.

Pre matice 3 × 3 sa determinant vypočíta pomocou zložitejšieho vzorca. Je uvedený nižšie pre maticu A:

det a = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – na₁₃a₂₂a₃₁ – na₁₁a₂₃a₃₂ – na₁₂a₂₁a₃₃.

Aby si vzorec zapamätali, prišli s pravidlom trojuholníka, ktoré je znázornené na obrázku. Najprv sa vynásobia prvky hlavnej uhlopriečky. K výslednej hodnote sa pripočítajú produkty tých prvkov označených uhlami trojuholníkov s červenými stranami. , potom sa odčíta súčin prvkov bočnej uhlopriečky a odčítajú sa súčiny tých prvkov označených uhlami trojuholníkov s modrými stranami.

Teraz poďme hovoriť o determinante produktu matíc. Existuje veta, ktorá hovorí, že tento ukazovateľ sa rovná súčinu determinantov multiplikačných tabuliek. Pozrime sa na to na príklade. Máme maticu A s prvkami a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 A a₂₂ = 1 a matica B s prvkami b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 A b₂₂ = 2. Nájdeme determinanty pre matice A A B, produkt A × B a determinant tohto produktu.

Priebeh rozhodnutia.

Prvý Krok. Vypočítajme determinant pre A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = -1. Ďalej vypočítame determinant pre B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Krok Dva. Nájsť produkt A × B. Nová matica je označená písmenom C. Vypočítajme jeho prvky:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Tretí Krok. Vypočítajme determinant pre C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = -3. Porovnajme s hodnotou, ktorú je možné získať vynásobením determinantov pôvodných matíc. Čísla sú rovnaké. Vyššie uvedená veta je pravdivá.

Hodnosť práce

Poradie matice je charakteristika, ktorá odráža Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov. Na výpočet poradia sa vykonávajú elementárne transformácie matice:

• preskupenie dvoch rovnobežných radov;
• násobenie všetkých prvkov určitého riadku z tabuľky číslom, ktoré sa nerovná nule;
• pridanie prvkov z iného riadku vynásobených konkrétnym číslom k prvkom jedného riadku.

Po elementárnych transformáciách sa pozerajú na počet nenulových riadkov. Ich počet je hodnosťou matice. Zvážte predchádzajúci príklad. Predstavila 2 matice: a s prvkami a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 A a₂₂ = 1 A B s prvkami b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 A b₂₂ = 2. Použijeme tiež maticu C získanú v dôsledku násobenia. Ak vykonáme elementárne transformácie, potom v zjednodušených maticiach nebudú žiadne nulové riadky. To znamená, že hodnosť tabuľky A A hodnosť tabuľky B a hodnosť tabuľky C sa rovná 2.

Teraz budeme venovať osobitnú pozornosť hodnosti produktu matíc. Existuje veta, ktorá uvádza, že poradie súčinu tabuliek obsahujúcich číselné prvky nepresahuje poradie žiadneho z faktorov. To sa dá dokázať. Nech a je matica veľkosti k × s A B je matica veľkosti S × m. Súčin A A B sa rovná C.

Pozrime sa na obrázok uvedený vyššie. Zobrazuje prvý stĺpec matice C a jej zjednodušený záznam. Tento stĺpec je lineárna kombinácia stĺpcov zahrnutých v matici A. To isté možno povedať o akomkoľvek inom stĺpci z obdĺžnikového poľa C. Podpriestor tvorený stĺpcovými vektormi tabuľky C teda existuje v podpriestore tvorenom stĺpcovými vektormi tabuľky a. Z tohto dôvodu rozmer podpriestoru č. 1 nepresahuje rozmer podpriestoru č. 2. Z toho vyplýva, že poradie v stĺpcoch tabuľky C nepresahuje poradie v stĺpcoch tabuľky a,. teda. r (C) ≤ r (A). Ak uvažujeme rovnako, potom sa môžeme uistiť, že riadky matice C sú lineárne kombinácie riadkov matice B. To znamená nerovnosť r (C) ≤ r (B).

Ako nájsť produkt matíc je pomerne zložitá téma. Dá sa to ľahko zvládnuť, ale na dosiahnutie takéhoto výsledku budete musieť stráviť veľa času zapamätaním si všetkých existujúcich pravidiel a viet.