Oblasť zrezaného kužeľa. Vzorec a príklad problému

Čísla rotácie v geometrii sa venujú osobitnú pozornosť pri štúdiu ich charakteristík a vlastností. Jedným z nich je zrezaný kužeľ. Cieľom tohto článku je odpovedať na otázku, podľa ktorého vzorca je možné vypočítať plochu zrezaného kužeľa.

O akej postave budeme hovoriť?

Pred opisom oblasti zrezaného kužeľa je potrebné uviesť presnú geometrickú definíciu tohto obrázku. Zrezaný kužeľ je kužeľ, ktorý sa získa v dôsledku orezania vrcholu obyčajného kužeľa rovinou. V tejto definícii by sa malo zdôrazniť množstvo nuancií. Po prvé, rovina úseku musí byť rovnobežná s rovinou základne kužeľa. Po druhé, pôvodná postava by mala byť kruhový kužeľ. Samozrejme, môže to byť eliptické, hyperbolické a iné typy postáv, ale v tomto článku sa obmedzíme na zváženie iba kruhového kužeľa. Ten je znázornený nižšie na obrázku.

Je ľahké uhádnuť, že sa dá získať nielen pomocou rovinnej časti, ale aj pomocou rotačnej operácie. Za týmto účelom vezmite lichobežník s dvoma pravými uhlami a otočte ho okolo strany, ktorá susedí s týmito pravými uhlami. V dôsledku toho sa základne lichobežníka stanú polomermi základov zrezaného kužeľa a bočná naklonená strana lichobežníka bude popisovať kužeľový povrch.

Rozloženie tvaru

Vzhľadom na povrch zrezaného kužeľa je užitočné priniesť jeho zametanie, to znamená obraz povrchu trojrozmernej postavy v rovine. Nižšie je skenovanie študovaného obrázku s ľubovoľnými parametrami.

Je vidieť, že oblasť obrázku je tvorená tromi zložkami: dvoma kruhmi a jedným zrezaným kruhovým segmentom. Je zrejmé, že na určenie požadovanej oblasti je potrebné spočítať oblasti všetkých uvedených čísel. Vyriešme tento problém v nasledujúcom odseku.

Oblasť zrezaného kužeľa

Aby sme uľahčili pochopenie nasledujúcich argumentov, uvádzame nasledujúcu notáciu:

• r1, r2 sú polomery veľkých a malých základov;
• h je výška postavy;
• g-tvarovací kužeľ (dĺžka naklonenej strany lichobežníka).

Plocha základov zrezaného kužeľa sa dá ľahko vypočítať. Zapíšme si zodpovedajúce výrazy:

S_o1 = pi * r₁²;

S_o2 = pi * r₂².

Oblasť časti kruhového segmentu je o niečo ťažšie určiť. Ak si predstavíme, že stred tohto kruhového sektora nie je vyrezaný, potom sa jeho polomer bude rovnať hodnote G. Nie je ťažké ho vypočítať, Ak vezmeme do úvahy zodpovedajúce podobné pravé trojuholníky z kužeľa. Rovná sa:

G = r₁* g/(r₁-r₂).

Potom oblasť celého kruhového sektora, ktorá je postavená na polomere G A ktorá spočíva na oblúku dĺžky 2 * pi * r₁, bude sa rovnať:

S₁ = pi * r₁* G = pi * r₁²* g/(r₁-r₂).

Teraz definujte oblasť malého kruhového sektora S₂, ktoré bude potrebné odpočítať od S₁. Rovná sa:

S₂ = pi * r₂* (G - g) = pi * r₂* (r₁* g/(r₁-r₂)- g) = pi * r₂²* g/(r₁-r₂).

Plocha kužeľovitého zrezaného povrchu S_b sa rovná rozdielu S₁ a S₂. Prihlásiť sa:

S_b = S₁ - S₂ = pi * r₁²* g/(r₁-r₂)- pi * r₂²* g/(r₁-r₂) = pi * g*(r₁+r₂).

Napriek trochu ťažkopádnym výpočtom sme získali pomerne jednoduchý výraz pre oblasť bočného povrchu obrázku.

Sčítanie oblastí základov a S_b, , prichádzame k vzorcu oblasti zrezaného kužeľa:

S = S_o1 + S_o2 + S_b = pi * r₁² + pi * r₂² + pi * g * (r₁+r₂).

Na výpočet veľkosti s študovaného obrázku je teda potrebné poznať jeho tri lineárne parametre.

Príklad úlohy

Kruhový rovný kužeľ s polomerom 10 cm a výškou 15 cm bol odrezaný rovinou tak, aby sa získal pravidelný zrezaný kužeľ. S vedomím, že vzdialenosť medzi základňami skráteného obrázku je 10 cm, je potrebné nájsť plochu jeho povrchu.

Ak chcete použiť vzorec oblasti zrezaného kužeľa, je potrebné nájsť tri z jeho parametrov. Jeden, ktorého poznáme:

r₁ = 10 cm.

Ďalšie dva sa dajú ľahko vypočítať, Ak vezmeme do úvahy podobné obdĺžnikové trojuholníky, ktoré sa získajú ako výsledok axiálneho úseku kužeľa. Ak vezmeme do úvahy problémový stav, dostaneme:

r₂ = 10 * 5/15 = 3,33 cm.

Nakoniec sa vodidlo zrezaného kužeľa g bude rovnať:

g = √(10² + r₁-r₂)²) = 12,02 cm.

Teraz môžete nahradiť hodnoty r₁, r₂ a g do vzorca pre S:

S = pi * r₁² + pi * r₂² + pi * g * (r₁+r₂) = 851,93 cm².

Požadovaná plocha obrázku je približne 852 cm².