Vzorec objemu hranolu. Objemy pravidelných štvoruholníkových a šesťuholníkových tvarov

Hranol je mnohosten alebo mnohosten, ktorý sa študuje v školskom kurze stereometrie. Jednou z dôležitých vlastností tohto mnohostenu je jeho objem. Pozrime sa v článku, ako je možné túto hodnotu vypočítať, a tiež uveďte vzorce pre objem hranolov-pravidelné štvoruholníkové a šesťuholníkové.

Hranol v stereometrii

Tento obrázok sa chápe ako mnohosten, ktorý pozostáva z dvoch identických polygónov umiestnených v rovnobežných rovinách a niekoľkých rovnobežníkov. Pre určité typy hranolov môžu rovnobežníky predstavovať obdĺžnikové Štvoruholníky alebo štvorce. Príklad takzvaného päťuholníkového hranola je uvedený nižšie.

Ak chcete postaviť postavu ako na obrázku vyššie, musíte vziať päťuholník a vykonať jeho paralelný prenos do určitej vzdialenosti v priestore. Spojením strán dvoch päťuholníkov pomocou rovnobežníkov získame požadovaný hranol.

Každý hranol sa skladá z plôch, vrcholov a hrán. Vrcholy hranola sú na rozdiel od pyramídy rovnaké, každý z nich patrí k jednej z dvoch základov. Existujú dva typy tvárí a hrán: tie, ktoré patria k základom, a tie, ktoré patria do strán.

Existuje niekoľko typov hranolov (pravidelné, šikmé, konvexné, rovné, konkávne). Pozrime sa ďalej v článku, akým vzorcom sa vypočíta objem hranola, berúc do úvahy tvar obrázku.

Všeobecný výraz na určenie objemu hranola

Bez ohľadu na to, ku ktorému typu študovaná postava patrí, či je rovná alebo šikmá, , správne alebo nesprávne, existuje univerzálny výraz, ktorý vám umožňuje určiť jeho objem. Objem priestorovej figúry sa nazýva oblasť priestoru, ktorá je uzavretá medzi jej tvárami. Všeobecný vzorec pre objem hranola vyzerá takto:

V = S_o × h.

Tu Je_o predstavuje plochu základne. Malo by sa pamätať na to, že hovoríme presne o jednom základe, nie o dvoch. Hodnota h je výška. Výška študovaného obrázku sa chápe ako vzdialenosť medzi jeho identickými základňami. Ak sa táto vzdialenosť zhoduje s dĺžkami bočných okrajov, potom hovoria o priamom hranole. Na rovnej postave sú všetky strany obdĺžniky.

Ak je teda hranol naklonený a má na základni nepravidelný mnohouholník, potom sa výpočet jeho objemu skomplikuje. Ak je obrázok rovný, výpočet objemu sa zníži iba na určenie plochy základne S_o.

Určenie objemu správneho čísla

Akýkoľvek hranol, ktorý je rovný a má polygonálnu základňu s rovnakými stranami a uhlami, sa nazýva správny. Napríklad také pravidelné mnohouholníky sú štvorec a rovnostranný trojuholník. Kosoštvorec zároveň nie je správnym číslom, pretože nie všetky jeho uhly sú si navzájom rovné.

Vzorec pre objem hranola je správny jasne vyplýva zo všeobecného výrazu pre V, ktorý bol napísaný v predchádzajúcom odseku článku. Predtým, ako začnete písať zodpovedajúci vzorec, je potrebné určiť oblasť správnej základne. Bez toho, aby sme zachádzali do matematických detailov, tu je vzorec na určenie určenej oblasti. Je univerzálny pre akýkoľvek bežný n-gon a má nasledujúcu formu:

S_n = n / 4 × ctg (pi / n) × A².

Ako je zrejmé z výrazu, oblasť S_n - je funkcia dvoch parametrov. Celé číslo n môže mať hodnoty od 3 do nekonečna. Hodnota a je dĺžka strany n-Gonu.

Ak chcete vypočítať objem obrázku, stačí vynásobiť oblasť S_n do výšky h alebo do dĺžky bočného okraja b (h=b). V dôsledku toho sa dostávame k nasledujúcemu pracovnému vzorcu:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × A² × h.

Všimnite si, že na určenie objemu hranola ľubovoľného typu je potrebné poznať niekoľko veličín (dĺžky strán základne, výška, dihedrické uhly obrázku), na výpočet hodnoty v pravidelného hranola potrebujeme poznať iba dva lineárne parametre, napríklad a A h.

Objem hranola je štvoruholníkový pravidelný

Štvoruholníkový hranol sa nazýva rovnobežnosten. Ak sú všetky jeho tváre rovnaké a predstavujú štvorce, potom takáto postava bude kocka. Každý študent vie, že objem obdĺžnikového rovnobežnostenu alebo kocky sa určuje vynásobením jeho troch rôznych strán (dĺžka výška a šírka). Táto skutočnosť vyplýva zo zaznamenaného všeobecného vyjadrenia objemu pre správny údaj:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × A² × h = 4/4 × ctg (pi / 4) × a² × h = a² × h.

Tu je kotangens od 45° 1. Všimnite si, že rovnosť výšky h a dĺžky strany základne a automaticky vedie k vzorcu objemu kocky.

Objem šesťuholníkového pravidelného hranola

Teraz použime teóriu načrtnutú vyššie na určenie objemu figúry so šesťuholníkovou základňou. Ak to chcete urobiť, stačí nahradiť hodnotu n = 6 vo vzorci:

V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h = 3 × √3/2 × a² × h.

písomný výraz je možné získať nezávisle bez použitia univerzálneho vzorca pre S_n. Aby ste to dosiahli, musíte rozdeliť pravidelný šesťuholník na šesť rovnostranných trojuholníkov. Strana každého z nich sa bude rovnať a. Plocha jedného trojuholníka zodpovedá:

S₃ = √3/4 × a².

Vynásobením tejto hodnoty počtom trojuholníkov (6) a výškou získame vyššie uvedený vzorec pre objem.