Hranol geometrického tvaru. Vlastnosti, typy, vzorce objemu a plochy. Pravidelný trojuholníkový hranol

Geometrické tvary v priestore sú predmetom štúdia stereometrie, kurzu, ktorý študenti absolvujú na strednej škole. Tento článok je venovaný takému dokonalému mnohostenu ako hranolu. Pozrime sa bližšie na vlastnosti hranola a uvedieme vzorce, ktoré slúžia na ich kvantitatívny opis.

Čo je hranol?

Každý si predstaví, ako vyzerá rovnobežnosten alebo kocka. Obe postavy sú hranoly. Trieda hranolov je však oveľa rozmanitejšia. V geometrii tohto obrázku je uvedená nasledujúca definícia: hranol je akýkoľvek mnohosten v priestore, ktorý je tvorený dvoma rovnobežnými a identickými polygonálnymi stranami a niekoľkými rovnobežníkmi. Rovnaké rovnobežné plochy obrázku sa nazývajú jeho základne (horné a dolné). Rovnobežníky sú bočné plochy postavy, ktoré navzájom spájajú strany základne.

Ak je základňa reprezentovaná n-gonom, kde n je celé číslo, potom bude obrázok pozostávať z 2 + n plôch, 2 * n vrcholov a 3 * n hrán. Plochy a hrany patria do jedného z dvoch typov: buď patria k bočnému povrchu alebo k základom. Pokiaľ ide o vrcholy, všetky sú rovnaké a patria k základom hranola.

Typy postáv študovanej triedy

Pri štúdiu vlastností hranola je potrebné uviesť možné typy tohto obrázku:

• Konvexné a konkávne. Rozdiel medzi nimi spočíva v tvare polygonálnej základne. Ak je konkávna, bude to tiež trojrozmerná postava a naopak.
• Rovné a šikmé. V priamom hranole sú bočné plochy reprezentované buď obdĺžnikmi alebo štvorcami. Na naklonenom obrázku sú bočné plochy rovnobežníky všeobecného typu alebo kosoštvorce.
• Nesprávne a správne. Aby bola študovaná postava správna, musí byť rovná a mať správny základ. Príkladom toho druhého sú také ploché tvary ako rovnostranný trojuholník alebo štvorec.

Názov hranola sa vytvára s prihliadnutím na uvedenú klasifikáciu. Napríklad rovnobežnosten s pravými uhlami uvedenými vyššie alebo kocka sa nazýva pravidelný štvoruholník prism. Správne hranoly sú vďaka svojej vysokej symetrii vhodné na štúdium. Ich vlastnosti sú vyjadrené vo forme špecifických matematických vzorcov.

Hranol oblasť

Pri posudzovaní takejto vlastnosti hranola ako jeho plochy znamenajú celkovú plochu všetkých jeho tvárí. Najjednoduchšie je predstaviť si túto hodnotu, ak urobíte zametanie postavy, to znamená, že rozložíte všetky tváre do jednej roviny. Obrázok nižšie ukazuje napríklad zametanie dvoch hranolov.

Pre ľubovoľný hranol môže byť vzorec pre oblasť jeho zametania vo všeobecnej forme napísaný takto:

S = 2 * S_o + b * P_sr.

Poďme vysvetliť notáciu. Hodnota S_o - je plocha jednej základne, b je dĺžka bočného okraja, P - je obvod rezu, ktorý je kolmý na bočné rovnobežníky obrázku.

Písomný vzorec sa často používa na určenie oblastí šikmých hranolov. V prípade správneho hranola bude mať výraz pre S konkrétnu formu:

S = n / 2*a²* ctg (pi/n) + n * b * a .

Prvý člen vo výraze predstavuje oblasť dvoch základov pravidelného hranola, druhý člen je oblasť bočných obdĺžnikov. Tu a je dĺžka strany pravidelného n-Gonu. Všimnite si, že dĺžka bočného okraja b pre pravidelný hranol je tiež jeho výška h, takže vo vzorci b môže byť nahradený h.

Ako vypočítať objem obrázku?

Hranol je pomerne jednoduchý mnohosten s vysokou symetriou. Preto na určenie jeho objemu existuje veľmi jednoduchý vzorec. Má nasledujúcu formu:

V = S_o*h.

Výpočet základnej plochy a výšky môže byť zložitý, ak sa vezme do úvahy šikmý nepravidelný tvar. Tento problém sa rieši pomocou sekvenčnej geometrickej analýzy zahŕňajúcej informácie o dihedrálnych uhloch medzi bočnými rovnobežníkmi a základňou.

Ak je hranol správny, potom vzorec pre V nadobúda veľmi špecifickú formu:

V = n / 4*a²* ctg (pi / n) * h.

Ako je zrejmé, oblasť S a objem V pre pravidelný hranol sú jednoznačne určené, ak sú známe dva z jeho lineárnych parametrov.

Hranol je trojuholníkový a pravidelný

Na záver článku uvažujeme o vlastnostiach trojuholníkového hranola. Je tvorená piatimi plochami, z ktorých tri sú obdĺžniky (štvorce) a dve sú rovnostranné trojuholníky. Hranol má šesť vrcholov a deväť hrán. Pre tento hranol sú vzorce objemu a plochy uvedené nižšie:

S₃ = √3/2*a² + 3 * h * a

V₃ = √3/4*a²*h.

Okrem týchto vlastností je tiež užitočné uviesť vzorec pre apofému základne obrázku, ktorý predstavuje výšku h_a rovnostranného trojuholníka:

h_a = √3/2*a.

Strany hranola sú identické obdĺžniky. Dĺžky ich uhlopriečok d sa rovnajú:

d = √(a² + h²).

Znalosť geometrických vlastností trojuholníkového hranola je nielen teoretická, ale aj praktická. Faktom je, že tento údaj vyrobený z optického skla sa používa na štúdium radiačného spektra telies.

Pri prechode skleneným hranolom sa svetlo rozkladá na množstvo základných farieb v dôsledku javu disperzie, ktorý vytvára podmienky na štúdium spektrálneho zloženia elektromagnetického toku.