Povrchová plocha priameho hranola: vzorce a príklad problému

Objem a plocha povrchu sú dve dôležité charakteristiky každého telesa, ktoré má konečné rozmery v trojrozmernom priestore. V tomto článku sa budeme zaoberať známou triedou polyhedra-hranolov. Odhalí sa najmä otázka, Ako nájsť povrch rovného hranola.

Čo je hranol?

Hranol je akýkoľvek mnohosten, ktorý je ohraničený niekoľkými rovnobežníkmi a dvoma identickými mnohouholníkmi umiestnenými v rovnobežných rovinách. Tieto polygóny sa považujú za základy obrázku a jeho rovnobežníky sú stranami. Počet strán (rohov) základne určuje názov tvaru. Napríklad obrázok nižšie ukazuje päťuholníkový hranol.

Vzdialenosť medzi základňami sa nazýva výška postavy. Ak sa výška rovná dĺžke ktorejkoľvek bočnej hrany, potom bude taký hranol rovný. Druhým dostatočným znakom pre rovný hranol je, že všetky jeho strany sú obdĺžniky alebo štvorce. Ak je aspoň jedna strana rovnobežníkom všeobecného tvaru, potom bude obrázok naklonený. Nižšie môžete vidieť, ako sa priame a šikmé hranoly vizuálne líšia pomocou príkladu štvoruholníkových postáv.

Povrchová plocha rovného hranola

Ak má geometrický útvar základňu n-uhla, potom sa skladá z n + 2 plôch, z ktorých N sú obdĺžniky. Označte dĺžky strán základne symbolom a_i, kde i = 1,2,...,n a výška obrázku, ktorá sa rovná dĺžke bočného okraja, označuje h. Na určenie povrchovej plochy (plôch) všetkých plôch je potrebné spočítať plochu S_o každej zo základov a všetkých oblastí strán (obdĺžniky). Vzorec pre S vo všeobecnej forme teda možno napísať ako:

S = 2 * S_o + S_b

Kde S_b - je oblasť bočného povrchu.

Pretože základom priameho hranola môže byť absolútne akýkoľvek plochý mnohouholník, nie je možné uviesť jediný vzorec na výpočet S_o , a na určenie tejto hodnoty vo všeobecnom prípade by sa mala vykonať geometrická analýza. Napríklad, ak je základom pravidelný n-gon so stranou a, potom sa jeho plocha vypočíta podľa vzorca:

S_o = n / 4 * ctg (pi/n)*A²

Pokiaľ ide o veľkosť S_b, výraz pre jeho výpočet možno uviesť. Plocha bočného povrchu priameho hranola sa rovná:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(na_i)

To znamená, že hodnota S_b sa vypočíta ako súčin výšky obrázku obvodom jeho základne.

Príklad riešenia problému

Využime získané vedomosti na vyriešenie nasledujúceho geometrického problému. Je daný hranol, ktorého základom je a pravý trojuholník so stranami v pravom uhle 5 cm a 7 cm. Výška postavy je 10 cm. Je potrebné nájsť povrch rovného trojuholníkového hranola.

Po prvé, poďme vypočítať preponu trojuholníka. Bude sa rovnať:

c = √(5² + 7²) = 8,6 pozri

Teraz urobme ďalšiu prípravnú matematickú operáciu-vypočítajte obvod základne. Bude to:

P = 5 + 7 + 8,6 = 20,6 cm

Plocha bočného povrchu obrázku sa vypočíta ako súčin hodnoty P výškou h = 10 cm, to znamená S_b = 206 cm².

Ak chcete nájsť plochu celého povrchu, k nájdenej hodnote by sa mali pridať dve základné oblasti. Pretože plocha pravouhlého trojuholníka je určená polovicou produktu nôh, dostaneme:

2 * S_o = 2*5*7/2 = 35 cm²

Potom zistíme, že plocha rovného trojuholníkového hranola je 35 + 206 = 241 cm².