Ako určiť prierezovú plochu valca, kužeľa, hranola a pyramídy? Prihlásiť sa

V praxi často vznikajú úlohy, ktoré si vyžadujú schopnosť vytvárať úseky geometrických tvarov rôznych tvarov a nájsť prierezové plochy. V tomto článku sa pozrieme na to, ako sú konštruované dôležité časti hranola, pyramídy, kužeľa a valca a ako vypočítať ich plochy.

Trojrozmerné postavy

Zo stereometrie je známe, že trojrozmerná postava absolútne akéhokoľvek typu je ohraničená množstvom povrchov. Napríklad pre mnohosteny, ako je hranol a pyramída, sú tieto povrchy polygonálnymi stranami. Pre valec a kužeľ už hovoríme o povrchoch rotácie valcových a kužeľových tvarov.

Ak vezmeme rovinu a svojvoľne s ňou pretíname povrch trojrozmernej postavy, dostaneme časť. Jeho plocha sa rovná ploche časti roviny, ktorá bude vo vnútri objemu obrázku. Minimálna hodnota tejto oblasti je nula, ktorá sa realizuje, keď sa rovina dotkne tvaru. Napríklad úsek tvorený jedným bodom sa získa, ak rovina prechádza vrcholom pyramídy alebo kužeľa. Maximálna hodnota plochy prierezu závisí od relatívnej polohy obrázku a roviny, ako aj od tvar a veľkosť z obrázku.

Nižšie uvažujeme o tom, ako vypočítať plochy vytvorených úsekov pre dve čísla otáčania (valec a kužeľ) a dve mnohosteny (pyramída a hranol).

Kruhový valec je obrázok rotácie obdĺžnika okolo ktorejkoľvek z jeho strán. Valec sa vyznačuje dvoma lineárnymi parametrami: polomerom základne r a výškou h. Nasledujúci príklad schematicky ukazuje, ako vyzerá kruhový rovný valec.

Pre tento obrázok existujú tri dôležité typy prierezu:

• kolo;
• obdĺžnikový;
• eliptické.

Eliptický je vytvorený v dôsledku toho, že rovina prechádza bočným povrchom obrázku pod určitým uhlom k jeho základni. Kolo je výsledkom priesečníka sečnej roviny bočného povrchu rovnobežného so základňou valca. Nakoniec sa získa pravouhlý, ak je sečná rovina rovnobežná s osou valca.

Plocha kruhového prierezu sa vypočíta podľa vzorca:

S₁ = pi * r²

Oblasť axiálneho úseku, to znamená obdĺžnikového, ktorá prechádza osou valca, je definovaná ako:

S₂ = 2 * r * h

Kužeľové úseky

Kužeľ je postava rotácie pravouhlého trojuholníka okolo jednej nohy. Kužeľ má jeden vrchol a okrúhlu základňu. Jeho parametre sú tiež polomer r a výška h. Príklad kužeľa vyrobeného z papiera je uvedený nižšie.

Existuje niekoľko typov kužeľových sekcií. Vymenujme ich:

• kolo;
• eliptické;
• parabolic;
• hyperbolický;
• trojuholníkový.

Nahradia sa navzájom, ak zvýšite uhol sklonu sečnej roviny vzhľadom na okrúhlu základňu. Najjednoduchším spôsobom je zapísať vzorce prierezovej plochy okrúhleho a trojuholníkového tvaru.

Kruhový prierez je vytvorený v dôsledku priesečníka kužeľovitého povrchu s rovinou, ktorá je rovnobežná so základňou. Pre jeho oblasť platí nasledujúci vzorec:

S₁ = pi * r²* z²/h²

Tu z je vzdialenosť od vrcholu obrázku k vytvorenej časti. Je vidieť, že ak z = 0, potom rovina prechádza iba vrcholom, takže oblasť S₁ bude nula. Vzhľadom k tomu, z < h, potom bude Plocha skúmaného úseku vždy menšia ako jeho hodnota pre základňu.

Trojuholník sa získa, keď rovina pretína obrázok pozdĺž svojej osi otáčania. Tvar výslednej časti bude rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú priemerom základne a dvoma tvarujúcimi kužeľmi. Ako nájsť prierezovú plochu trojuholníka? Odpoveď na túto otázku je nasledujúci vzorec:

S₂ = r * h

Táto rovnosť sa dosiahne, ak použijeme vzorec pre plochu ľubovoľného trojuholníka po dĺžke jeho základne a výšky.

Úseky hranolov

Hranol je veľká trieda figúr, ktoré sa vyznačujú prítomnosťou dvoch identických polygonálnych báz navzájom rovnobežných, Spojených rovnobežníkmi. Akákoľvek časť hranola je mnohouholník. Vzhľadom na rozmanitosť uvažovaných obrázkov (naklonené, rovné, n-Uhlové, pravidelné, konkávne hranoly) je rozmanitosť ich prierezov tiež veľká. Ďalej zvážime iba niektoré špeciálne prípady.

Ak je sečná rovina rovnobežná so základňou, potom sa plocha prierezu hranola bude rovnať ploche tejto základne.

Ak rovina prechádza geometrickými stredmi dvoch základní, to znamená, že je rovnobežná s bočnými okrajmi obrázku, potom sa v reze vytvorí rovnobežník. V prípade priamych a pravidelných hranolov bude uvažovaným typom sekcie obdĺžnik.

Pyramída

Pyramída je ďalší mnohosten, ktorý sa skladá z n-gon a n trojuholníkov. Príklad trojuholníkovej pyramídy je uvedený nižšie.

Ak sekcia sa vykonáva rovnobežne s n-uhlovou základnou rovinou bude potom jeho tvar presne rovnaký ako tvar základne. Plocha takéhoto úseku sa vypočíta podľa vzorca:

S₁ = S_o* (h-z)²/h²

Kde z je vzdialenosť od základne k rovine prierezu, S_je - oblasť základne.

Ak sečná rovina obsahuje vrchol pyramídy a pretína jej základňu, dostaneme trojuholníkový rez. Na výpočet jeho plochy je potrebné odkázať na použitie vhodného vzorca pre trojuholník.