Koncept uhlového zrýchlenia. Vzorce kinematiky a dynamiky rotácie. Príklad úlohy

Rotácia telies je jedným z dôležitých typov mechanického pohybu v strojárstve a prírode. Na rozdiel od lineárneho posunu je opísaný vlastným súborom kinematických charakteristík. Jedným z nich je uhlové zrýchlenie. Túto hodnotu budeme charakterizovať v článku.

Rotačný pohyb

Pred prihlásiť sa o uhlovom zrýchlení opíšeme typ pohybu, na ktorý sa aplikuje. Hovoríme o rotácii, čo je pohyb telies po kruhových trajektóriách. Aby mohlo dôjsť k rotácii, musia byť splnené určité podmienky:

• prítomnosť osi alebo bodu otáčania;
• prítomnosť dostredivej sily, ktorá by udržala telo na kruhovej obežnej dráhe.

Príkladmi tohto typu pohybu sú rôzne atrakcie, napríklad kolotoč. V technológii sa rotácia prejavuje pri pohybe kolies a hriadeľov. V prírode je najvýraznejším príkladom tohto typu pohybu je rotácia planét okolo ich vlastnej osi a okolo Slnka. Úlohu dostredivej sily v týchto príkladoch zohrávajú sily interatomickej interakcie v pevných látkach a gravitačnej interakcie.

Kinematické charakteristiky rotácie

Tieto charakteristiky zahŕňajú tri hodnoty: uhlové zrýchlenie, uhlovú rýchlosť a uhol natočenia. Budeme ich označovať gréckymi symbolmi α, ω aɛ.

Pretože sa telo pohybuje v kruhu, je vhodné vypočítať uhol, o ktorý sa za určitý čas otočí. Tento uhol je vyjadrený v radiánoch (menej často v stupňoch). Pretože kružnica má 2 × pi radiány, je možné napísať rovnosť spájajúcu s dĺžkou oblúka L rotácie:

L =ɛ × r

Kde r je polomer otáčania. Tento vzorec nie je ťažké získať, ak si spomeniete na zodpovedajúci výraz pre obvod.

Uhlová rýchlosť ω, podobne ako jej lineárny analóg, opisuje rýchlosť otáčania okolo osi, to znamená, že sa určuje podľa nasledujúceho výrazu:

ω = dɛ / d t

Hodnota ω je vektor. Je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania. Jednotkou jeho merania je radián za sekundu (rad / s).

Nakoniec, uhlové zrýchlenie je fyzikálna charakteristika, ktorá určuje rýchlosť zmeny hodnoty ω, ktorá sa matematicky píše ako:

α = d ω/ d t

Vektor α je zameraný na zmenu vektora rýchlosti ω. Ďalej sa povie, že uhlové zrýchlenie smeruje k vektoru momentu sily. Táto hodnota sa meria v radiánoch za štvorcovú sekundu (rad/s²).

Moment sily a zrýchlenia

Ak si spomenieme na Newtonov zákon, ktorý spája silu a lineárne zrýchlenie do jednej rovnosti, potom prenesením tohto zákona do prípadu rotácie môžeme napísať nasledujúci výraz:

M = i × α

Tu M je moment sily, ktorý je produktom sily, ktorá má tendenciu odvíjať systém, na páke-vzdialenosť od bodu pôsobenia sily k osi. Hodnota I je analogická s hmotnosťou tela a nazýva sa moment zotrvačnosti. Písomný vzorec sa nazýva rovnica momentov. Z toho možno uhlové zrýchlenie vypočítať takto:

α = M / I

Pretože I je skalárny, α je vždy nasmerovaný na efektívny moment sily M. Smer M je určený pravidlom pravej ruky alebo pravidlom gimletu. Vektory M A α sú kolmé na rovinu rotácie. Čím väčší je moment zotrvačnosti telesa, tým nižšia je hodnota uhlového zrýchlenia schopná informovať Systém o pevnom momente M.

Kinematické rovnice

Aby sme pochopili dôležitú úlohu, ktorú hrá uhlové zrýchlenie pri opise pohybu rotácie, zapisujeme vzorce spájajúce kinematické veličiny študované vyššie.

V prípade rotácie v rovnakej vzdialenosti sú platné nasledujúce matematické vzťahy:

ω = α × t;

θ θ α α α α α α α α α² / 2

Prvý vzorec ukazuje, že uhlová rýchlosť sa časom zvýši podľa lineárneho zákona. Druhý výraz vám umožňuje vypočítať uhol, o ktorý sa telo otočí v známom čase t. Graf funkcie θ (t) je parabola. V oboch prípadoch je uhlové zrýchlenie konštantné.

Ak použijeme vzorec vzťahu medzi L A θ uvedený na začiatku článku, potom môžeme získať výraz pre α z hľadiska lineárneho zrýchlenia a:

α = a / r

Ak je α konštantná, potom so zvyšujúcou sa vzdialenosťou od osi otáčania r sa lineárne zrýchlenie a úmerne zvýši. Preto sa na rotáciu používajú Uhlové charakteristiky, na rozdiel od lineárnych sa nemenia so zvyšujúcim sa alebo klesajúcim r.

Príklad problému

Kovový hriadeľ, otáčajúci sa frekvenciou 2 000 otáčok za sekundu, začal spomaľovať svoj pohyb a po 1 minúte sa úplne zastavil. Je potrebné vypočítať, s akým uhlovým zrýchlením prebehol brzdný proces hriadeľa. Mali by ste tiež vypočítať počet otáčok, ktoré hriadeľ urobil pred zastavením.

Proces spomalenia rotácie je opísaný nasledujúcim výrazom:

ω = ω₀ - α × t

Počiatočná uhlová rýchlosť ω₀ sa určuje pomocou frekvencie otáčania f týmto spôsobom:

ω₀ = 2 × pi × f

Pretože poznáme čas brzdenia, dostaneme hodnotu zrýchlenia α:

α = ω₀ / t = 2 × pi × f / t = 209,33 rad/s²

Toto číslo by sa malo brať so znamienkom mínus, pretože hovoríme o brzdení systému, nie o jeho zrýchľovaní.

Na určenie počtu otáčok, ktoré hriadeľ urobí počas brzdenia, použijeme výraz:

θ = ω₀ × t-α × t² / 2 = 376 806 rad.

Výsledná hodnota uhla natočenia v radiánoch sa jednoducho preloží do počtu otáčok uskutočnených hriadeľom, až kým sa úplne nezastaví pomocou jednoduchého delenia 2 × pi:

n =ɛ / (2 × pi) = 60 001 otáčok.

Dostali sme teda všetky odpovede na otázky problému: α = -209,33 rad/s², n = 60 001 otáčok.