Black-scholesov vzorec: definícia, výskumné metódy a príklad výpočtu

História a podstata

Na základe práce, ktorú predtým vyvinuli výskumníci trhu a odborníci, ako sú Louis Bachelier, Shin Kassouf a Ed Thorpe, Fischer Black a Miron Scholes v neskorých 1960. rokoch minulého storočia preukázali, že dynamická Revízia portfólia eliminuje očakávaný návrat bezpečnosti.

V roku 1970, keď sa pokúsili uplatniť tento vzorec na trhoch a utrpeli finančné straty v dôsledku nedostatočného riadenia rizík vo svojich profesiách, sa rozhodli zamerať na svoj odbor, akademické prostredie. Po troch rokoch úsilia bol vzorec pomenovaný po ich vyhlásení konečne uverejnený v roku 1973 v článku s názvom "cenové možnosti a podnikové záväzky" v časopise Journal of Political Economy. Robert S. Merton ako prvý publikoval článok rozširujúci Matematické chápanie modelu oceňovania opcií a vytvoril termín "Black-Scholesov cenový model".

Za svoju prácu dostali Merton a Scholes v roku 1997 Nobelovu pamätnú cenu za ekonomické vedy, pričom výbor uviedol, že objavili bezrizikovú dynamickú revíziu ako prielom, ktorý oddeľuje túto možnosť od rizika základnej bezpečnosti. Napriek tomu, že cenu nedostal kvôli svojej smrti v roku 1995, švédsky akademik spomenul Blacka ako účastníka. Na obrázku nižšie môžete vidieť typický vzorec výpočtu Black-Scholes.

Možnosť

Hlavnou myšlienkou tohto modelu je zabezpečenie opcie správnym nákupom a predajom podkladového aktíva a v dôsledku toho elimináciou rizika. Tento typ záchrannej siete sa nazýva "neustále aktualizované delta hedging". Je základom zložitejších stratégií, ako sú tie, ktoré používajú investičné banky a hedžové fondy.

Riadenie rizík

Predpoklady modelu boli zmiernené a zovšeobecnené v mnohých smeroch, čo viedlo k rôznym modelom, ktoré sa v súčasnosti používajú pri oceňovaní derivátov a riadení rizík. Je to pochopenie modelu, ako je znázornené vo vzorci Black-Scholes, ktoré účastníci trhu často používajú, na rozdiel od skutočných cien. Tieto informácie zahŕňajú absenciu hraníc arbitráže a bezrizikové oceňovanie (z dôvodu neustálej revízie). Okrem toho Black-Scholesova rovnica, parciálna diferenciálna rovnica, ktorá určuje cenu opcie, umožňuje stanovenie cien pomocou numerických metód, keď nie je možný explicitný vzorec.

Volatilita

Black-Scholesov vzorec má iba jeden parameter, ktorý nie je možné priamo pozorovať na trhu: priemernú budúcu volatilitu podkladového aktíva, hoci ho možno nájsť za cenu iných opcií. Pretože hodnota parametra (či už "put" alebo "call") sa v tomto parametri zvyšuje, je možné ho obrátiť, aby sa získal "povrch volatility", ktorý sa potom použije na kalibráciu iných modelov, napríklad OTC derivátov.

S ohľadom na tieto predpoklady Predpokladajme, že na tomto trhu sa obchoduje aj s derivátovými cennými papiermi. Naznačujeme, že tento cenný papier bude mať určitú výplatu k určitému dátumu v budúcnosti, v závislosti od hodnoty prijatej zásobou pred týmto dátumom. Prekvapivo je cena derivátu v súčasnosti úplne určená, aj keď nevieme, akým spôsobom bude cena akcií v budúcnosti.

Pre osobitný prípad Európskej "hovor" alebo "opcia" Black a Scholes ukázali, že je možné vytvoriť hedgovanú pozíciu pozostávajúcu z dlhej pozície v akcii a krátkej pozície v opcii, ktorej hodnota nebude závisieť od ceny akcie. Ich stratégia dynamického zaistenia viedla k parciálnej diferenciálnej rovnici, ktorá určovala cenu opcie. Jeho riešenie je dané Black-Scholesovým vzorcom.

Rozdiel termínov

Black-Scholesov vzorec pre excel je možné interpretovať prvým rozdelením "opcia" rozdiel dvoch binárnych opcií. "Opcia" výmena hotovosť pre aktívum po vypršaní platnosti, zatiaľ čo aktívum na zavolanie s aktívom alebo bez neho jednoducho poskytne aktívum (bez hotovosti výmenou) a "" bezhotovostný hovor jednoducho vráti peniaze (bez výmeny aktív). Black-Scholesov vzorec pre opciu je rozdiel dvoch výrazov a tieto dva výrazy sa rovnajú hodnote binárnych volacích opcií. Tieto binárne opcie sa predávajú oveľa menej často ako vanilkové opcie, ale dajú sa ľahšie analyzovať.

V praxi sa niektoré hodnoty citlivosti zvyčajne uvádzajú skrátene, aby zodpovedali stupnici pravdepodobných zmien parametrov. Napríklad sa často uvádza Rho delené 10 000 (zmena o 1 bázický bod), vega o 100 (zmena o 1 objemový bod) a theta o 365 alebo 252 (pokles o 1 deň na základe kalendárnych dní alebo obchodných dní v roku).

Vyššie opísaný model je možné rozšíriť o variabilné (ale deterministické) sadzby a volatilitu. Tento model možno použiť aj na hodnotenie európskych možností pre nástroje vyplácania dividend. V takom prípade sú k dispozícii riešenia v uzavretej forme, ak je dividenda známou časťou ceny akcie. Americké opcie a akciové opcie, ktoré vyplácajú známu hotovostnú dividendu (z krátkodobého hľadiska realistickejšie ako proporcionálna dividenda), sa hodnotia ťažšie a je k dispozícii výber metód riešenia (napríklad mriežky a mriežky).

Užitočná aproximácia: aj keď volatilita nie je konštantná, výsledky modelu často pomáhajú zabezpečiť zabezpečenie v správnom pomere, aby sa minimalizovalo riziko. Aj keď výsledky nie sú úplne presné, slúžia ako prvá aproximácia, na ktorú je možné vykonať úpravy.

Základ pre pokročilejšie modely: model Black-Scholes je robustný v tom zmysle, že ho možno upraviť tak, aby zvládol niektoré jeho zlyhania. Namiesto toho, aby sme niektoré parametre (napríklad volatilitu alebo úrokové sadzby) považovali za konštanty, považujeme ich za premenné a pridávame tak zdroje rizika.

To sa odráža v Grékoch (zmena hodnoty možnosti zmeniť z týchto parametrov alebo ekvivalentne parciálne deriváty týchto premenných) a zaistenie týchto Grékov znižuje riziko spôsobené nekonštantnou povahou týchto parametrov. Iné nedostatky však nie je možné odstrániť zmenou modelu, najmä riziko chvosta a riziko likvidity, a namiesto toho sa riadia mimo modelu, najmä minimalizáciou týchto rizík a stresovým testovaním.

Explicitné modelovanie

Explicitné modelovanie: Táto funkcia znamená, že namiesto toho, aby ste a priori predpokladali volatilitu a vypočítavali z nej ceny, môžete na určenie volatility použiť model, ktorý dáva implikovanú volatilitu opcie za stanovené ceny, podmienky a realizačné ceny. Riešením volatility počas určitého súboru trvania štrajku a cien je možné vytvoriť povrch implikovanej volatility.

V tejto aplikácii Modelu Black-Scholes sa získa transformácia súradníc z cenovej oblasti do oblasti volatility. Namiesto špecifikovania cien opcií v dolároch za jednotku (ktoré je ťažké porovnať podľa štrajkov, trvania a frekvencie kupónov) je možné ceny opcií špecifikovať z hľadiska implikovanej volatility, ktorá vedie k volatilite obchodovania na trhoch s opciami.