Čo je hyperboloid: rovnica, konštrukcia, všeobecné charakteristiky

Aby si čitateľ ľahšie predstavil, čo je hyperboloid - trojrozmerný objekt - najprv musíte zvážiť krivku s rovnakým názvom, hyperbolu, ktorá zapadá do dvojrozmerného priestoru.

Hyperbola má dve osi: skutočnú, ktorá sa zhoduje s osou úsečky na tomto obrázku, a imaginárnu - s osou súradnice. Ak mentálne začnete otáčať rovnicu hyperboly okolo jej imaginárnej osi, potom povrch, "" krivka, ktorá bude tvoriť hyperboloid s jednou dutinou.

Ak začnete hyperbolu otáčať okolo jej skutočnej osi týmto spôsobom, potom každá z týchto dvoch "polovica" krivky bude tvoriť svoj vlastný samostatný povrch a spolu sa bude nazývať hyperboloid s dvoma dutinami.

Získané otáčaním zodpovedajúcej rovinnej krivky sa nazývajú hyperboloidy rotácie. Majú parametre patriace do otočenej krivky vo všetkých smeroch kolmých na os otáčania. Vo všeobecnosti to tak nie je.

Hyperboloidná rovnica

Všeobecne možno povrch definovať nasledujúcimi rovnicami v karteziánskych súradniciach (x, y, z):

V prípade hyperboloidu rotácie je jeho symetria vzhľadom na os, okolo ktorej sa otáčala, vyjadrená v rovnosti koeficientov a=b.

Hyperboloidné Charakteristiky

Má zameranie. Vieme, že krivky majú ohniská v rovine - napríklad v prípade hyperboly je modul rozdielu vzdialenosti od ľubovoľného bodu na hyperbole k jednému zaostreniu a druhý je podľa definície konštantný, v skutočnosti zaostrovacie body.

Pri prechode do trojrozmerného priestoru sa definícia prakticky nemení: ohniská sú opäť dva body a rozdiel vo vzdialenostiach od nich k ľubovoľnému bodu patriacemu k povrchu hyperboloidu je konštantný. Ako vidíte, zo zmien sa objavila iba tretia súradnica všetkých možných bodov, pretože teraz sú umiestnené v priestore. Všeobecne povedané, určenie zaostrenia je ekvivalentné identifikácii typu krivky alebo povrchu: keď hovoríme o tom, ako sú body povrchu umiestnené vzhľadom na ohniská, v skutočnosti odpovedáme na otázku, čo je hyperboloid a ako vyzerá.

Je potrebné pripomenúť, že hyperbola má asymptoty-priame čiary, ku ktorým majú jej vetvy sklon k nekonečnu. Ak pri konštrukcii hyperboloidu rotácie mentálne otáčate asymptoty spolu s hyperbolou, potom okrem hyperboloidu získate aj kužeľ nazývaný asymptotický. Asymptotický kužeľ existuje v hyperboloidoch s jednou dutinou aj s dvojitou dutinou.

Ďalšou dôležitou charakteristikou, ktorá je k dispozícii iba v hyperboloide s jednou dutinou, sú priamočiare generátory. Ako už názov napovedá, jedná sa o čiary, ktoré úplne ležia na danom povrchu. Dva priamočiare generátory prechádzajú každým bodom hyperboloidu s jednou dutinou. Patria do dvoch rodín čiar, ktoré sú opísané nasledujúcimi systémami rovníc:

Hyperboloid s jednou dutinou teda môže byť zložený výlučne z nekonečného počtu priamych línií dvoch rodín a každá čiara jednej z nich sa pretína so všetkými čiarami druhej. Povrchy zodpovedajúce takýmto vlastnostiam sa nazývajú lineárne; môžu byť skonštruované otáčaním jednej rovnej. Definícia prostredníctvom vzájomného usporiadania priamych čiar (priamočiarych generátorov) v priestore môže tiež slúžiť ako jednoznačné označenie toho, čo je hyperboloid.

Zaujímavé vlastnosti hyperboloidu

Krivky druhého rádu a ich zodpovedajúce rotačné povrchy majú zaujímavé optické vlastnosti súvisiace s ohniskami. V prípade hyperboloidu je to formulované takto: ak sa lúč uvoľní z jedného ohniska, potom sa odrazí od najbližšieho "stena", linka, bude to mať taký smer, ako keby to prišlo z druhého zaostrenia.

Hyperboloidy v živote

S najväčšou pravdepodobnosťou sa väčšina čitateľov začala zoznamovať s analytickou geometriou a povrchmi druhého rádu fantastickým románom Alexeja Tolstého "Hyperboloid inžiniera Garina". Spisovateľ však buď skutočne nevedel, čo je hyperboloid, alebo obetoval presnosť kvôli umeniu: opísaný vynález je z hľadiska fyzikálnych vlastností skôr paraboloid, ktorý zhromažďuje všetky lúče v jednom ohnisku (zatiaľ čo optické vlastnosti hyperboloidu sú spojené s rozptylom lúčov).

Takzvané hyperboloidné konštrukcie sú v architektúre veľmi populárne: sú to štruktúry, ktoré majú tvar hyperboloidu s jednou dutinou alebo hyperbolického paraboloidu. Faktom je, že iba tieto povrchy otáčania druhého rádu majú priamočiare generátory: zakrivená konštrukcia môže byť postavená iba z priamych lúčov. Výhodou takýchto štruktúr je schopnosť odolávať ťažkým nákladom, napríklad pred vetrom: tvar hyperboloidu sa používa pri stavbe vysokých štruktúr, napríklad televíznych veží.