Heronov vzorec alebo ako nájsť oblasť trojuholníka na troch stranách

Trojuholník je najjednoduchšia postava uzavretá v rovine, pozostávajúca iba z troch vzájomne prepojených segmentov. Pri problémoch s geometriou je často potrebné určiť plochu tohto obrázku. Čo je na to potrebujete vedieť? V článku odpovieme na otázku, Ako nájsť oblasť trojuholníka na troch stranách.

Všeobecný vzorec

Každý študent vie, že plocha trojuholníka sa počíta ako súčin dĺžky ktorejkoľvek z jeho strán - a o polovicu výšky-h, znížená na vybranú stranu. Zodpovedajúci vzorec je uvedený nižšie: S = a*h/2.

Tento výraz sa môže použiť, ak sú známe aspoň dve strany a hodnota uhla medzi nimi. V tomto prípade sa výška h dá ľahko vypočítať pomocou trigonometrických funkcií, napríklad sínusu. Ale nie každý vie, ako nájsť oblasť na troch stranách trojuholníka.

Heronova Formula

Tento vzorec je odpoveďou na otázku, Ako nájsť oblasť trojuholníka na troch stranách. Pred zapísaním označíme dĺžky segmentov ľubovoľného obrázku ako a, b A c. Heronov vzorec je napísaný takto: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Kde p je semiperimeter obrázku, to znamená: p = (A + b + c) / 2.

Napriek zjavnej objemnosti je daný výraz pre oblasť S ľahko zapamätateľný. Ak to chcete urobiť, najprv vypočítajte pol metra trojuholníka, potom od neho odpočítajte jednu stranu obrázku pozdĺž jednej dĺžky, vynásobte všetky získané rozdiely a samotný pol metra. Na konci by ste mali vziať druhú odmocninu produktu.

Tento vzorec je pomenovaný po Volavke Alexandrijskej, ktorá žila na začiatku našej éry. Moderná história verí, že to bol tento filozof, ktorý prvýkrát použil tento výraz na vykonanie zodpovedajúcich výpočtov. Tento vzorec je publikovaný v jeho práci "Metrický", ktorý sa datuje do 60. roku našej éry. Všimnite si, že niektoré diela Archimeda, ktorý žil dve storočia pred Heronom, obsahujú znaky, že grécky filozof už tento vzorec poznal. Okrem toho, ako nájsť oblasť trojuholníka, poznať tri strany, starí Číňania tiež vedeli.

Je dôležité poznamenať, že úlohu je možné vyriešiť bez toho, aby ste vedeli o existencii heronovho vzorca. Aby ste to dosiahli, mali by ste nakresliť dvojicu výšok v trojuholníku a použiť všeobecný vzorec z predchádzajúceho odseku, ktorý tvorí príslušný systém rovníc.

Volavkový výraz možno použiť na výpočet plôch ľubovoľných mnohouholníkov, najskôr ich rozdeliť na trojuholníky a vypočítať dĺžky výsledných uhlopriečok.

Príklad riešenia problému

Keď vieme, ako nájsť oblasť trojuholníka na troch stranách, upevníme vedomosti získané riešením nasledujúceho problému. Nech sú strany postavy 5 cm, 4 cm a 3 cm. Musíme nájsť priestor.

Sú známe tri strany trojuholníka, takže môžete použiť Heronov vzorec. Vypočítame pol metra a potrebné rozdiely, máme:

• p = (A + b + c) / 2 = 6 cm;
• p - a = 1 cm;
• p-b = 2 cm;
• p-c = 3 cm.

Potom dostaneme oblasť: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = √(6*1*2*3) = 6 pozri².

Trojuholník uvedený v problémovom stave je obdĺžnikový, čo nie je ťažké overiť, či použijeme Pytagorovu vetu. Pretože plocha takého trojuholníka sa rovná polovici produktu nôh, dostaneme: S = 4 * 3/2 = 6 cm².

Výsledná hodnota sa zhoduje s rovnakou hodnotou pre Heronov vzorec, čo potvrdzuje jeho platnosť.